Аннотация. Мақалада математиканы оқытуды есептеу алгоритмдерін жаттатудан математикалық пайымдау, модельдеу және дәлелдеу әрекеттеріне көшіру жолдары қарастырылады. Сабақта қолдануға болатын үш зерттеу кейсі ұсынылады: материалды үнемдеудің экстремум есебі, ықтималдықтағы шартты ақпаратты түсіндіру және графтар арқылы маршрутты оңтайландыру. Әдістемелік жаңалық — әр есепті «жағдай → жорамал → модель → дәлел → тексеру → рефлексия» циклімен ұйымдастыру және шешімнің дұрыстығымен бірге аргумент сапасын бағалау.

Түйін сөздер: математикалық сауаттылық, модельдеу, математикалық дәлел, оңтайландыру, ықтималдық, графтар теориясы, қалыптастырушы бағалау.

Кіріспе. Математикадағы сапалы өзгерістің мәні

Қазіргі мектепте математикалық білімнің нәтижесі формуланы танумен ғана өлшенбеуі тиіс. Оқушы нақты жағдайды айнымалыларға аударып, шарттардың жеткіліктілігін тексеріп, негізделген қорытынды жасап және модельдің шектеулерін түсіндіре алғанда ғана білім функционалдық сипат алады. OECD PISA 2022 математикалық сауаттылық шеңбері математикалық пайымдауды, мәселені математикалық тұжырымдауды, математиканы қолдануды және нәтижені интерпретациялауды өзара байланысқан әрекеттер ретінде қарастырады [1].

Ұсынылатын педагогикалық идея: сабақтың орталығына «дайын әдіс» емес, зерттеуге ашық, бірден алгоритмі көрінбейтін мәселе қойылады. Мұғалім танымдық қиындықты мақсатты түрде жобалайды: оқушы болжам ұсынады, бірнеше шешімді салыстырады, қарсы мысал іздейді, кейін ғана жалпылайды. Мұндай сабақта қате жауап — жазалау нысаны емес, тұжырымды нақтылауға мүмкіндік.

1. Математикалық зерттеудің алты кезеңді моделі

1) Проблематизация: есептің шынайы мағынасын, шамаларды және мақсатты анықтау. 2) Идеализация: күрделілікті азайтатын болжамдарды ашық жазу. 3) Формализация: белгілеулерді, функцияны, теңдеуді немесе графты құру. 4) Негіздеу: аналитикалық дәлел, логикалық қорытынды, қарсы мысал. 5) Верификация: өлшем бірліктерін, шеткі жағдайларды, цифрлық модельмен сәйкестікті тексеру. 6) Рефлексия: модель шынайы ортаға қай жағдайда сәйкес келмейтінін талдау. Бұл құрылым Пойаның есеп шешу стратегиясымен үйлеседі [2], бірақ цифрлық тексеру мен модельдің жарамдылық шегіне ерекше назар аударады.

2. Зерттеу кейсі № 1. Цилиндр пішінді ыдыста материал шығынын минималдау

Зерттеу сұрағы: көлемі V тұрақты, үсті мен асты жабық цилиндр жасау үшін қандай радиус пен биіктікте материал ауданы ең аз болады? Болжам: «биік және тар» немесе «аласа және жалпақ» пішіннің біреуі тиімді болуы мүмкін. Оқушылар осы интуитивті пайымды математикалық тексереді.

Модель: V = πr²h; S = 2πr² + 2πrh, мұнда r > 0, h > 0. Көлем шарты бойынша h = V/(πr²). Сонда S(r) = 2πr² + 2V/r. Туындысы S′(r) = 4πr − 2V/r². S′(r)=0 шартынан 2πr³ = V. Ал h = V/(πr²) = 2r, яғни тиімді цилиндрдің биіктігі диаметріне тең.

Нәтиженің дәлелі: S″(r)=4π+4V/r³ > 0 (r > 0), сондықтан табылған стационар нүкте — минимум; r→0+ немесе r→∞ кезінде S→∞ болғандықтан, ол жаһандық минимум. Бұл талдау графикке қарап болжаудан күштірек: экстремумның барын да, жалғыз екенін де негіздейді.

Күрделендіру: егер түбі мен қақпағының материалы бүйір бетінен қымбат болса, шығын C(r)=2aπr²+2bV/r түріне өзгереді (a,b — аудан бірлігіне кететін шығын). Онда r³=bV/(2aπ), h/r=2a/b. Демек, «h=2r» қорытындысы барлық өндірістік жағдайда әмбебап емес. Оқушылар модельдік болжамның нәтижеге әсерін нақты көреді.

Сабақтағы әрекет: топтар берілген V үшін бірнеше (r,h) жұбын электрондық кестеде салыстырады; GeoGebra-да S(r) графигін салады; аналитикалық дәлелді жазады; өндірістік шектеулерді (қалдық, тігіс, қалыңдық) талдайды. Бағалау өлшемі: айнымалылардың дұрыстығы, шектеулерді ескеру, дәлелдің толықтығы және қорытындының физикалық мағынасы.

3. Зерттеу кейсі № 2. Шартты ықтималдық және базалық жиілік қатесі

Проблема: диагностикалық тест сирек кездесетін белгіні 95% сезімталдықпен анықтайды және белгісі жоқ адамдардың 90%-ына теріс нәтиже береді. Белгінің популяциядағы таралуы 1%. Тест оң шыққанда белгі шынымен бар болуының ықтималдығы қанша? Оқушылар жиі кездесетін «95%» деген қате жауапты тексеруі керек.

Белгілейік: A — белгі бар, «+» — тест оң. P(A)=0,01; P(+|A)=0,95; P(+|¬A)=0,10. Байес формуласы бойынша P(A|+) = [0,95·0,01]/[0,95·0,01+0,10·0,99] = 0,0095/0,1085 ≈ 0,0876, яғни шамамен 8,76%.

Түсіндіру үшін 10 000 адамның жиілік моделін құрамыз: 100 адамда белгі бар, соның 95-іне тест оң; 9 900 адамда белгі жоқ, соның 990-ына тест жалған оң болады. Барлығы 1 085 оң нәтиженің тек 95-і шын оң. Сандық эксперимент пен ағаш-диаграмма шартты ықтималдықтың «кері айналмайтынын» көрсетеді: P(+|A) ≠ P(A|+).

Зерттеуді кеңейту: таралу көрсеткішін 1%-дан 10%-ға өзгерткенде нәтижені қайта есептеу; сезімталдық пен спецификалық қасиетті жеке-жеке өзгертіп, қандай параметрдің нәтижеге көбірек әсер ететінін анықтау. Бұл мысал диагноз қоюға арналмайды: мақсаты — статистикалық деректі сыни оқу және шартты ықтималдықтарды ажырату.

4. Зерттеу кейсі № 3. Графтар арқылы қауіпсіз маршрутты модельдеу

Мектеп аумағындағы бес нүктені A, B, C, D, E төбелер деп, жолдарды салмақталған қырлар деп алайық. Жол ұзындықтары (шартты бірлік): AB=4, AC=2, BC=1, BD=5, CD=8, CE=10, DE=2. A нүктесінен E нүктесіне ең қысқа бағытты табу керек. Оқушылар алдымен барлық ықтимал жолды талқылап, содан соң Дейкстра алгоритмінің логикасын қолданады.

Ең қысқа жол: A→C→B→D→E; ұзындығы 2+1+5+2=10. Салыстыру үшін A→B→D→E=11, A→C→E=12. Нәтижені кестелік алгоритммен және графтың сызбасымен тексеруге болады. Нақты өмірде «ең қысқа» әрдайым «ең қауіпсіз» емес: әр жолға тәуекел салмағын қосу көпкритерийлі оңтайландыру мәселесін туғызады. Шешім таңдауда математикалық модельдің қандай мақсаттық функцияны минималдайтынын ашық айту қажет.

Тереңдету: жолдарды бірбағытты ету, бір қырды жабу, теріс емес салмақ шартын түсіндіру, алгоритм нәтижесінің тұрақтылығын салыстыру. Оқушылар тек дайын маршрутты таппайды, алгоритм қолданылуының математикалық алғышарттарын да негіздейді.

5. Цифрлық технология және жасанды интеллект: дәлелдің орнына емес, дәлелді тексеруге

GeoGebra динамикалық тәуелділікті көрсетуге, электрондық кесте параметрлік зерттеу жүргізуге, Python ықтималдық симуляцияларын қайталауға мүмкіндік береді. Дегенмен график — математикалық дәлел емес: шектелген экранда байқалмаған жағдай бүкіл анықталу облысында жоқ деген қорытынды шықпайды. Генеративті ЖИ ұсынған шешім міндетті түрде оқушының өз дәлелімен, қарсы мысалмен немесе тәуелсіз есептеумен тексеріледі. Сынып ережесі: «Алдымен болжамды өзің құр, кейін құралмен тексер, соңында логикалық дәлелде».

6. Бағалау жүйесі және педагогикалық тиімділікті тексеру

Әр зерттеу есебі төрт критериймен бағаланады: модельдің сәйкестігі (0–3 балл), математикалық негіздеу (0–3), тексеру және шектеулерді түсіндіру (0–2), коммуникация мен рефлексия (0–2). Барлығы — 10 балл. Үдерістік кері байланыс «Қай шартты қолдандың?», «Тұжырымды қандай қарсы мысал жоққа шығара алады?», «Басқа модельде шешім өзгере ме?» сұрақтарымен беріледі. Қалыптастырушы бағалау жөніндегі зерттеулер кері байланыстың оқу нәтижесіне ықпал ететінін негіздейді [4].

Ұсыныстың тиімділігін тексеру үшін бір тақырып бойынша бастапқы және қорытынды тапсырмалар алынады: формула таңдау емес, модель құру, дәлел қателерін табу, модель шегін түсіндіру бағаланады. Салыстыруда тапсырма күрделілігі, оқушылардың бастапқы деңгейі, уақыт айырмашылығы есепке алынады. Нақты сыныптық эксперимент өткізілмегендіктен, бұл жұмыста статистикалық нәтижелер немесе «тиімділік пайызы» ойдан берілмейді.

Қорытынды

Күшті математикалық сабақтың нәтижесі — бір ғана дұрыс сан емес, қорғалатын математикалық тұжырым. Цилиндрді оңтайландыру туындының шешім қабылдаудағы күшін; Байес есебі статистикалық интуицияның шектеуін; граф теориясы абстрактілі модельдің нақты шешімге әсерін көрсетеді. Математиканы дәлел, модель, цифрлық тексеру және рефлексия бірлігінде оқыту оқушының зерттеушілік дербестігін дамытатын жүйелі әдістемелік бағыт болып табылады.

Пайдаланылған әдебиеттер

1. OECD. PISA 2022 Assessment and Analytical Framework. Paris: OECD Publishing, 2023. (Mathematics framework).

2. Pólya G. How to Solve It: A New Aspect of Mathematical Method. Princeton University Press, 1945.

3. National Council of Teachers of Mathematics. Principles to Actions: Ensuring Mathematical Success for All. Reston, VA: NCTM, 2014.

4. Black P., Wiliam D. Assessment and Classroom Learning // Assessment in Education. 1998. Vol. 5(1). P. 7–74.

5. National Council of Teachers of Mathematics. Principles and Standards for School Mathematics. Reston, VA: NCTM, 2000.

Ғылыми-әдістемелік баяндама | Математика пәні

 Қайратова Мөлдір Қайратқызы

Білім беру ұйымы: Шығыс Қазақстан облысы білім басқармасы Өскемен қаласы бойынша білім бөлімінің «№46 орта мектебі» КММ математика пәні мұғалімі